Первый ботинок можно взять 32 способами.
Дальше останется 15 левых и 15 правых, а выбирать можно будет только из одной группы.
2-ой можно выбрать 15-тью способами.
3-ий можно выбрать 14-тью способами.
4-ый можно выбрать 13-тью способами.
5-ый можно выбрать 12-тью способами.
6-ой можно выбрать 11-тью способами.
7-ой можно выбрать 10-тью способами.
8-ый можно выбрать 9-тью способами.
9-ый можно выбрать 8-тью способами.
10-ый можно выбрать 7-мью способами.
Итак получаем:
![32 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7](https://tex.z-dn.net/?f=+32+%5Ccdot+15+%5Ccdot+14+%5Ccdot+13+%5Ccdot+12+%5Ccdot+11+%5Ccdot+10+%5Ccdot+9+%5Ccdot+8+%5Ccdot+7+)
способов.
Отметим, что если бы мы вложили во все пары ботинок номерные фанты (бумажки с номерами), то, скажем комбинация "1,2,3,4,5,6,7,8,9,10" и комбинация "2,1,3,4,5,6,7,8,9,10" практически бы не отличались, поскольку порядок выбранных ботинок нам не важен.
А, как известно, всего в любом наборе из 10 предметов
возможны 10! перестановок.
При подсчёте всех способов мы как раз сосчитали лишние неразличимые варианты, котороых в 10! раз больше, чем практически различимых.
А поэтому предварительное число вариантов нужно разделить на 10! и тогда мы получим конечное число различных вариантов:
![N = \frac{ 32 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \frac{ 32 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \frac{ 32 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 }{ 5 \cdot 4 \cdot 3 } = \frac{ 32 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 }{4} = \\\\ = 8 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 = 8 \cdot (13+1) \cdot 13 \cdot 11 = 8 \cdot (169+13) \cdot 11 = \\\\ = 8 \cdot (182) \cdot 11 = 8 \cdot (200-20+2) \cdot 11 = (1600-160+16) \cdot 11 = \\\\ = 1456 \cdot 11 = 14 \ 560 + 1456 = 16 \ 016 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+N+%3D+%5Cfrac%7B+32+%5Ccdot+15+%5Ccdot+14+%5Ccdot+13+%5Ccdot+12+%5Ccdot+11+%5Ccdot+10+%5Ccdot+9+%5Ccdot+8+%5Ccdot+7+%7D%7B+10+%5Ccdot+9+%5Ccdot+8+%5Ccdot+7+%5Ccdot+6+%5Ccdot+5+%5Ccdot+4+%5Ccdot+3+%5Ccdot+2+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+32+%5Ccdot+15+%5Ccdot+14+%5Ccdot+13+%5Ccdot+12+%5Ccdot+11+%7D%7B+6+%5Ccdot+5+%5Ccdot+4+%5Ccdot+3+%5Ccdot+2+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+32+%5Ccdot+15+%5Ccdot+14+%5Ccdot+13+%5Ccdot+11+%7D%7B+5+%5Ccdot+4+%5Ccdot+3+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+32+%5Ccdot+14+%5Ccdot+13+%5Ccdot+11+%7D%7B4%7D+%3D+%5C%5C%5C%5C+%3D+8+%5Ccdot+14+%5Ccdot+13+%5Ccdot+11+%3D+8+%5Ccdot+%2813%2B1%29+%5Ccdot+13+%5Ccdot+11+%3D+8+%5Ccdot+%28169%2B13%29+%5Ccdot+11+%3D+%5C%5C%5C%5C+%3D+8+%5Ccdot+%28182%29+%5Ccdot+11+%3D+8+%5Ccdot+%28200-20%2B2%29+%5Ccdot+11+%3D+%281600-160%2B16%29+%5Ccdot+11+%3D+%5C%5C%5C%5C+%3D+1456+%5Ccdot+11+%3D+14+%5C+560+%2B+1456+%3D+16+%5C+016+%5C+%3B+)
О т в е т : 16 016 способов.