7) (sin150°)^(log(0,5)(x^2+5x-6)) = 4x.
Так как синус 150 градусов равен 1/2, то это уравнение равносильно x^2+5x-6 = 4x.
Получаем квадратное уравнение x^2+x-6 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√25-1)/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2;
x_2=(-√25-1)/(2*1)=(-5-1)/2=-6/2=-3.
Ответ: х = 2, х = -3.
8) Дана система:
Преобразуем первое уравнение.
Приводим к общему знаменателю:
При равных основаниях получаем равенство показателей:
2х + 2у = х + 1,
х = 1 - 2у. Подставляем его во второе уравнение системы.
y^2 - (1 - 2y) = -2. Имеем квадратное уравнение:
у^2 + 2y + 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*1=4-4=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
y=-2/(2*1)=-1.
Отсюда х = 1 - 2(-1) = 3.
Ответ: х = -1, у = 3.
3) Приравняем заданные функции, после возведения в квадрат, имеем:
1 + 4cos(2x) = 1 - 4cos(x).
После сокращение получаем: cos(2x) = -cos(x).
Заменим cos(2x) = 2cos²(x) - 1.
2cos²(x) - 1 = -cos(x).
Вводим замену: cos(x) = t и получаем квадратное уравнение.
2t² + t - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*2*(-1)=1-4*2*(-1)=1-8*(-1)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√9-1)/(2*2)=(3-1)/(2*2)=2/(2*2)=2/4=1/2;
t_2=(-√9-1)/(2*2)=(-3-1)/(2*2)=-4/(2*2)=-4/4=-1.
Обратная замена:
cos(x) = 1/2. x = (π/3) + 2πk, k ∈ Z.
x = (-π/3) + 2πk, k ∈ Z.
cos(x) = -1. x = π + 2πk, k ∈ Z.
.
Так как синус 150 градусов равен 1/2, то это уравнение равносильно x^2+5x-6 = 4x.
Получаем квадратное уравнение x^2+x-6 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√25-1)/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2;
x_2=(-√25-1)/(2*1)=(-5-1)/2=-6/2=-3.
Ответ: х = 2, х = -3.
8) Дана система:
Преобразуем первое уравнение.
Приводим к общему знаменателю:
При равных основаниях получаем равенство показателей:
2х + 2у = х + 1,
х = 1 - 2у. Подставляем его во второе уравнение системы.
y^2 - (1 - 2y) = -2. Имеем квадратное уравнение:
у^2 + 2y + 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*1=4-4=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
y=-2/(2*1)=-1.
Отсюда х = 1 - 2(-1) = 3.
Ответ: х = -1, у = 3.
3) Приравняем заданные функции, после возведения в квадрат, имеем:
1 + 4cos(2x) = 1 - 4cos(x).
После сокращение получаем: cos(2x) = -cos(x).
Заменим cos(2x) = 2cos²(x) - 1.
2cos²(x) - 1 = -cos(x).
Вводим замену: cos(x) = t и получаем квадратное уравнение.
2t² + t - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*2*(-1)=1-4*2*(-1)=1-8*(-1)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√9-1)/(2*2)=(3-1)/(2*2)=2/(2*2)=2/4=1/2;
t_2=(-√9-1)/(2*2)=(-3-1)/(2*2)=-4/(2*2)=-4/4=-1.
Обратная замена:
cos(x) = 1/2. x = (π/3) + 2πk, k ∈ Z.
x = (-π/3) + 2πk, k ∈ Z.
cos(x) = -1. x = π + 2πk, k ∈ Z.
.