Итак. Признак делимости на 37: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Пусть наши числа имеют общий вид
.
По сути, для таких чисел признак записывается так:
должно быть кратно 37.
Приведем подобные и получим
Так как 111=37*3, то
кратно 37. Тогда 
кратно 37.
Начинаем перебор. Заметим, что b и c - цифры, то есть они равны 0, 1, 2 ... или 9.
1) с=0. Тогда и b=0. Итоговые числа: 10101, 20202, 30303, 40404, 50505, 60606, 70707, 80808, 90909.
2) с=1, с=2, c=4, c=5, c=6, c=8 или с=9. В этих случаях либо b отрицательно, либо двузначное число(чего быть не может)
3) с=3. Тогда b=7. Итоговые числа: 17131, 27232, 37333, 47434, 57535, 67636, 77737, 87838, 97939.
4) c=7. Тогда b=4. Итоговые числа: 14171, 24272, 34373, 44474, 54575, 64676, 74777, 84878, 94979.
К слову, признаки делимости можно выводить для любых чисел, вот только для большинства он будет формулироваться очень сложно.
Пусть наши числа имеют общий вид
По сути, для таких чисел признак записывается так:
Приведем подобные и получим
Так как 111=37*3, то
Начинаем перебор. Заметим, что b и c - цифры, то есть они равны 0, 1, 2 ... или 9.
1) с=0. Тогда и b=0. Итоговые числа: 10101, 20202, 30303, 40404, 50505, 60606, 70707, 80808, 90909.
2) с=1, с=2, c=4, c=5, c=6, c=8 или с=9. В этих случаях либо b отрицательно, либо двузначное число(чего быть не может)
3) с=3. Тогда b=7. Итоговые числа: 17131, 27232, 37333, 47434, 57535, 67636, 77737, 87838, 97939.
4) c=7. Тогда b=4. Итоговые числа: 14171, 24272, 34373, 44474, 54575, 64676, 74777, 84878, 94979.
К слову, признаки делимости можно выводить для любых чисел, вот только для большинства он будет формулироваться очень сложно.