Question

Дана функция y=-x^3/3+2x^2-3x-1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции

Answer 1

Дана функция y = (-x³/3)+2x²-3x-1.

Находим производную и приравниваем нулю:

y' = -x² + 4x - 3 = x² - 4x + 3 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D=(-4)^2-4*1*3=16-4*3=16-12=4;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√4-(-4))/(2*1)=(2-(-4))/2=(2+4)/2=6/2=3;

x_2=(-√4-(-4))/(2*1)=(-2-(-4))/2=(-2+4)/2=2/2=1.

Получили 2 критические точки: х = 1 и х = 3 и три промежутка монотонности функции: (-∞; 1), (1; 3) и (3; +∞).

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = 0 1 2 3 4

y' = -3 0 1 0 -3

Минимум в точке х = 1, у = -2,3333.

Максимум в точке х = 3, у = -1.

Функция возрастает на промежутке (1; 3).

Функция убывает на промежутках (-∞; 1) ∪ (3; +∞).