ДАНО
Y=(x²-4)/(x²+1)
ИССЛЕДОВАНИЕ
1.Область определения
D(x) - непрерывная Х∈(-∞;+∞).
Вертикальных асимптот
- нет.
2. Пересечение с осью
Х. x = 0. В числителе - (x² - 4) = (x-2)*(x +2) = 0
x1 = -2, x2 = 2
3. Пересечение с
осью У. У(0) = -4.
4. Поведение на
бесконечности.
![\lim_{n \to \infty} \frac{x^2-4}{x^2+1}= \frac{1-0}{1+0}=1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7Bx%5E2-4%7D%7Bx%5E2%2B1%7D%3D+%5Cfrac%7B1-0%7D%7B1%2B0%7D%3D1+++)
Горизонтальная
асимптота - Y = 1.
5. Исследование на
чётность.Y(-x) = Y(x). Функция чётная.
6. Производная
функции.
![Y'(x)= \frac{2x}{x^2+1}- \frac{2x*(x^2-4)}{(x^2+1)^2}=0](https://tex.z-dn.net/?f=Y%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B2x%7D%7Bx%5E2%2B1%7D-+%5Cfrac%7B2x%2A%28x%5E2-4%29%7D%7B%28x%5E2%2B1%29%5E2%7D%3D0++)
7. Локальные
экстремумы.
Максимума -
нет, минимум – Ymin(0) = -4.
8. Интервалы
монотонности.
Убывает - Х∈(-∞;0]. Возрастает - Х∈[0;+∞)
9. Вторая производная
- Y"(x).
Корни производной -
точки перегиба: х1 =-√3/3, х3=√3/3. (≈0.58)
9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-√3/3)∪(√3/3;+∞),
Вогнутая – «ложка» Х∈(-√3/3;√3/3).
10. Область значений
Е(у) У∈(-4;1)
<span>11. График в
приложении</span>