Речевые ошибки есть во всех представленных предложениях
Первое предложение. Правильно - "Главный режиссер считает, что без финансовой поддержки театр существовать не может."
Второе предложение. Правильно - "Чувства, которые чисты и бескорыстны, тоже исчезают."
Третье предложение. Правильно - "Я хотел обратиться к вам еще по поводу того, что сделать, чтобы прекратить информационное ухудшение."
Четвертое предложение. Правильно - "Путники медленно двигались, проклиная трудности дороги."
Пятое предложение. Правильно - "Президент попросил доложить обо всем, что сейчас происходит."
Дома - дОм
Дворы - двОр
мосты - мОст
слоны - слОн
следы - слЕд
листы - лИст
столбы - стОлб
холмы - хОлм
сады - сАд
Полёт, взлёт, перелёт, отлёт.
Если начальная форма у существительного астра то пишется первый вариант
Багамы - от испанского "Baja Mar" ("неглубокое море"). Испанские конкистадоры таким образом назвали острова по характеристике воды, которая их окружает.