Попарно соединенные середины сторон образуют три средние лиии треугольника. Средняя линия треугольникак равна половине основания, значит если a+b+c=p,то 0,5a+0.5b+0.5c=0.5p или p/2
Угол А в 2 раза меньше внешнего угла ВСК, то есть
∠А=α , ∠ВСК=2α.
Внешний угол треугольника = сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, ∠ВСК=∠А+∠В ⇒ 2α=α+∠В ⇒ ∠В=α .
Получаем треугольник, у которого равны два угла, значит, треугольник равнобедренный ( углы при основании треугольника равны ).
Соединив середины сторон ВС и АС в треугольнике АВС, получим два подобных треугольника: МCN и АВС с коэффициентом подобия сторон 1/2.
<em>Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента их подобия</em>.
S MCN: S ABC:=k²=1/4
Следовательно, S Δ АВС= 4 S Δ MCN=4*20=80
⇒ S ABMN= S ABC- S MCN=80-20=60 ( ед. площади)
Т.к. А=90°, В=30°, то С=60°. Пусть ВС =2х, то АС= х. составим уравнение по теореме Пифагора:
4х²=х²+36
3х²=36
х²=12
х=2√3 см=АС
ВС=2*2√3=4√3 см
Ответ: 2√3 см, 4√3 см.