Может.
Обычно аллергия может появится от любого продукта, даже от чёрного чая , возможно даже и от зелёного чая.
При непереносимости того или иного продукта появляется аллергия, так как организм не вырабатывает тот состав - в котором находится в чае, появляется симптомы: зуд кожи, высыпание, покраснения, головная боль, температура, чиханье.
Например аллергия может быть просто от красителей чая, от добавок, от чайного листа, даже от обычного ароматизатора.
Больше аллергия проявляется от ароматизатора и красителей.
Если у Вас действительно аллергия от чёрного чая, в любом случае его стоит прекратить пить, и заменить на другой натуральный чай - которые не вызывает аллергию.