Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:
y=1/2x^4-9x^2 , [-1;4]

Answer 1

Находим экстремумы функции 0,5х⁴ - 9х².
Для этого определяем производную заданной функции:
f' = 2x³ - 18x.
Приравниваем её нулю:
2x³ - 18x = 0
2x(x² - 9) = 0
x₁ = 0
x² - 9 = 0
x² = 9
x₂ = 3
x₃ = -3  - это значение не входит в заданный предел и его отбрасываем.
Теперь определим, где минимум, а где максимум.
Для этого наблюдаем, как ведёт себя производная вблизи точек экстремума.
Примем х = 1   f' = 2*1³-18*1 = -16  - значение отрицательно.
Примем х = -1   f' = 2*(-1³)-18*(-1) = 16  - значение положительно.
Значит, 0 - это точка максимума.
Значение функции равно f = 0.
Аналогично рассматриваем точку х = 3.
Здесь будет минимум функции на заданном пределе:
f = 0.5*3⁴ - 9*3² = 81/2 - 81 = -40.5.