Question

Тр-к АВС вписан в окружность радиуса R.Точка D лежит на дуге BC, а хорды AD и BC пересекаются в точке М.Найти длину стороны ВС,если угол BMD=120,АВ=R,BM:MC=2:3

Answer 1

ΔАВО: ОА = ОВ = R,
             AB = R по условию, значит треугольник АВО равносторонний,
⇒ ∠АОВ = 60°

∠АОВ - центральный, опирается на дугу АВ.
∠АСВ - вписанный, опирается на ту же дугу, значит,
∠АСВ = ∠АОВ/2 = 60°/2 = 30°.

∠АМС = ∠BMD = 120° как вертикальные.
ΔАМС: ∠АМС = 120°, ∠АСМ = 30°, ⇒∠САМ = 30°,
т.е. треугольник АМС равнобедренный, АМ = СМ.

Пусть х - коэффициент пропорциональности,
Тогда ВМ = 2х, МС = 3х.

∠АМВ = 180° - ∠BMD = 180° - 120° = 60° как смежные.

ΔАМВ: BM = 2x, AM = 3x, AB = R, ∠AMB = 60°.
По теореме косинусов:
АВ² = АМ² + МВ² - 2·АМ·МВ·cos60°
R² = 9x² + 4x² - 2·3x·2x·1/2
R² = 13x² - 6x²
7x² = R²
x = R/√7

BC = 5x = 5R/√7 = 5R√7 / 7