Задача состоит в том, чтобы сабля крутилась в руке, как в шарнире, и при этом сила реакции в шарнире была равна нулю. Из этого и исходим.
Заметим, что центр масс сабли отстоит от руки на L/2 – где L – длина сабли, тогда для скорости центра масс верно, что:
v = ωL/2 ;
2a = Lω' ; [1]
Когда сабля бьёт лозу, сабля испытывает реакцию лозы N, и по закону Ньютона для центра масс, с учётом отсутствия реакции в области рукоятки, получается, что:
a = N/m ; [2]
Пусть сабля рубит лозу на удалении x от руки, тогда по закону Ньютона во вращательной форме получаем:
ω' = Nx/J , [3]
где J = mL²/3 – момент инерции сабли относительно рукоятки.
Подставим [2] и [3] в [1] и получим:
2N/m = LNx/J ;
2/m = 3Lx/mL² ;
x = [2/3] L ;
Лозу нужно рубить саблей на расстоянии 2/3 от рукоятки.
*** в решении мы пренебрегли незначительной, по сравнению с силой удара силой тяжести и углом наклона сабли. Этот ответ наиболее верен, когда сабля рубит лозу в вертикальном положении сабли. В иных случаях, в зависимости от наклона сабли, а так же в зависимости от толщины лозы (и как следствие – силы и скорости удара) – идеальная точка удара может незначительно сдвигаться от 2/3 .
10.10
Данная задача решается довольно просто, поскольку нам уже дано изменение скорости ядра, при котором, по всей видимости (что нужно будет проверить неравенством), теряется механическая энергия.
Итак: начальный импульс ядра: m vo ;
Начальный момент импульса ядра относительно оси ОО': (L–a) m vo ;
Конечный импульс ядра (сразу после удара) по горизонтальной оси равен нулю, а значит, и конечный момент импульса ядра равен нулю. Тогда изменение момента импульса ядра относительно оси ОО' равно его начальному моменту импульса. Всё это изменение момента импульса ядра превратится в момент импульса дощатого бруса. Обозначив угловую скорость и момент инерции дощатого бруса, соответственно, как: ω и J , мы можем записать:
Jω = (L–a) m vo ; [1]
Кинетическая энергия дощатого бруса равна Jω²/2 и вся она перейдёт в потенциальную энергию, когда он поднимется, повернувшись на угол φ. Нижняя кромка бруса при повороте на угол φ окажется на Lcosφ ниже оси OO'. Таким образом, нижняя кромка поднимется от начального уровня на величину L(1–cosφ), а поскольку центр масс точно вдвое ближе к оси OO', чем нижняя кромка, то общее поднятие центра масс бруса при его повороте на угол φ составит L(1–cosφ)/2 , а изменение потенциальной энергии в поле силы тяжести будет равно: MgL(1–cosφ)/2 . Когда вся кинетическая энергия перейдёт в потенциальную, дощатый брус как раз и окажется в своей верхней точке, т.е. в положении максимального отклонения. Итак, учитывая превращение кинетической энергии в потенциальную, мы можем записать:
Jω²/2 = MgL(1–cosφ)/2 ;
J²ω² = MgJL(1–cosφ) ;
Учтём, что J = ML²/3, тогда:
J²ω² = M²L³g(1–cosφ)/3 ;
Jω = ML√[Lg(1–cosφ)/3] ;
Приравняем к этому уравнение [1] и получим:
(L–a) m vo = ML√[Lg(1–cosφ)/3] ;
vo = [M/m] L/[L–a] √[Lg(1–cosφ)/3] ;
vo = M/[m(1–a/L)] √[Lg(1–cosφ)/3] ;
Проверим ещё, что кинетическая энергия в системе не возрастает, что было бы абсурдом:
vo² = ( M / [m(1–a/L)] )² Lg(1–cosφ)/3 ;
Тогда начальная кинетическая энергия равна:
Eo = mvo²/2 = ( M / [1–a/L] )² Lg(1–cosφ)/[6m] ;
А конечная кинетическая энергия, равная потенциальной, должна быть не больше начальной кинетической:
MgL(1–cosφ)/2 < ( M / [1–a/L] )² Lg(1–cosφ)/[6m] ;
1 < M/[3m(1–a/L)²] ;
(1–a/L)² < M/[3m] ;
1–a/L < √[M/(3m)] ;
ОТВЕТ
при выполнении условия 1–a/L < √[M/(3m)] – начальная скорость описанного движения ядра должна была бы быть:
