Question

Найдите наибольшее значение функции y=12x - ln(12x) + 4 на участке [1/24 ; 5/24]

Answer 1

Найдем производную функции:

$\tt y'=(12x-\ln 12x+4)'=12-\dfrac{1}{12x} \cdot (12x)'=12-\dfrac{12}{12x} =12-\dfrac{1}{x}$

$\tt y'=0;~~~12-\dfrac{1}{x} =0~~\bigg|\cdot x\ne0\\ 12x-1=0\\ \\ x=\dfrac{1}{12}$

Найдем наибольшее значение функции на концах отрезка.

$\tt y\bigg(\dfrac{1}{24}\bigg)=12\cdot\dfrac{1}{24} -\ln\bigg(12\cdot\dfrac{1}{24}\bigg)+4=\dfrac{1}{2} +ln2+4=4.5+\ln2\\ \\ y\bigg(\dfrac{1}{12}\bigg)=12\cdot\dfrac{1}{12} -\ln\bigg(12\cdot\dfrac{1}{12}\bigg)+4=1-0+4=5\\ \\ y\bigg(\dfrac{5}{24}\bigg)=12\cdot\dfrac{5}{24} -\ln\bigg(12\cdot\dfrac{5}{24}\bigg)+4=2.5 +ln2.5+4=6.5+\ln2.5~-\max$

Ответ: $\displaystyle \tt \max_{[\frac{1}{24};\frac{5}{24}]}y(x)=y\bigg(\frac{5}{24}\bigg)=6.5+\ln2.5$