Question

Помогите! с решением 6 и 7

Answer 1

6.

$\lim_{x \to \infty}{ ( \frac{5x+1}{5x-1} )^{x+2} } = \lim_{x \to \infty}{ ( \frac{5x-1+2}{5x-1} )^{x+2} } = \lim_{x \to \infty}{ ( 1 + \frac{2}{5x-1} )^{x+2} } =$

$= \lim_{x \to \infty}{ ( 1 + \frac{2}{5x-1} )^{ ( 2 \frac{5x-1}{2} + 1 )/5 + 2 } } = \lim_{ y = (5x - 1)/2 \to \infty}{ ( 1 + \frac{1}{y} )^{ ( 2 y + 1 )/5 + 2 } } =$

$= \lim_{ y \to \infty}{ ( 1 + \frac{1}{y} )^{ \frac{2}{5}y + \frac{1}{5} + 2 } } = \lim_{ y \to \infty}{ ( 1 + \frac{1}{y} )^{ \frac{2}{5}y } } \cdot \lim_{ y \to \infty}{ ( 1 + \frac{1}{y} )^{2.2} } =$

$= \lim_{ y \to \infty}{ [ ( 1 + \frac{1}{y} )^y ]^{2/5} } \cdot \lim_{ z \to 0}{ ( 1 + z )^{2.2} } = \lim_{ y \to \infty}{ e^{2/5} } \cdot 1^{2.2} = e^{2/5} }$ ;


О т в е т : $e^{2/5} ,$ либо в радикальной записи $\sqrt[5]{e^2} .$



7. Точки перегиба возникают в нолях второй производной, при смене её знака:

$y = -x^4 + 6x^2$ ;

$y'_x = -4x^3 + 12x$ ;

$y''_x = -12x^2 + 12 = - 12 ( x^2 - 1 )$ ;

$y''_x = - 12 ( x + 1 ) ( x - 1 )$ ;


Потребуем: $y''_x = 0$ ;

$( x + 1 ) ( x - 1 ) = 0$ ;

$x_{1,2} = \pm 1$ ;


При этом,

при: $x < -1 : : : y''_x < 0$ – функция выпукла,
при: $-1 < x < 1 : : : y''_x > 0$ – функция вогнута,
при: $x > 1 : : : y''_x < 0$ – функция выпукла.

Значит обе точки $x_{1,2} = \pm 1$ – являются точками перегиба.


О т в е т : точки перегиба $x_{1,2} = \pm 1 .$