Question

1. Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них

умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел

меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121.

Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и

докажите, что других нет.
Желательно подробно! ​

Answer 1

Ответ:

120

Пошаговое объяснение:

Пусть Саша выбрал число a, Андрей - число b, Оля - число c. Опишем последовательность действий.

1) Саша умножил своё число на каждое из других, получилось ab и ac. Затем вычел меньшее из большего. Тогда получается выражение $|ab-ac|=a|b-c|$. a можно вынести за модуль, так как оно натуральное.

2) Аналогично, у Андрея получилось $|ba-bc|=b|a-c|$.

У Оли получилось $|ca-cb|=c|a-b|$

3) По условию,

$a|b-c|=1,\\b|a-c|=121$

Из первого равенства можно получить два варианта:

а)

$a=1,b-c=1;\\a=1,b=c+1$

б)

$a=1,c-b=1;\\a=1,c=b+1$,

поскольку 1 можно разложить на натуральные множители лишь 1 способом: 1 = 1*1.

Рассмотрим второе равенство и подставим туда каждый случай из первого:

а)

$b|a-c|=121,\\a=1,\\b=c+1$

Отсюда:

$(c+1)|1-c|=121,\\|1-c^2|=121\\c^2=1\pm121,\\c\notin N$

б)

$b|a-c|=121,\\a=1,\\c=b+1$

Отсюда:

$b|1-(b+1)|=121,\\b|-b|=121,\\b^2=121\\b=11$

Далее находим c: $c=b+1=11+1=12$

Однозначно определяем число Оли: $c|a-b|=12*|1-11|=120$