<span><span><span>
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2,
z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
</span><span>Тогда уравнение плоскости имеет вид:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1)
– (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) +
(z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
</span><span>Точка A2 Точка A3 Точка A4
</span><span> x
y
z
x y
z
x
y
z
</span><span> 6
1
4 3
-6
10 7
5
4
</span><span /><span>
x-x1
y2-y1
z3-z1
z2-z1
y3-y1
y-y1
x2-x1
x3-x1
z-z1
</span><span>
x-x1
-7
0
6
4
y-y1
-3
1
z-z1
</span><span /><span>
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1)
(x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1)
(y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1)
(y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1)
</span><span>
(x-x1) *
0
(x-x1) *
24
(y-y1) *
0
(y-y1) *
6
</span><span /><span>
(z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1)
<span> (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1)</span></span><span>
(z-z1) *
-12
(z-z1) *
-7
</span><span /><span><span>Уравнение
плоскости A2A3A4</span></span><span>
x
-x1
0
24
y
y1
0
6
z
z1
-12
-7
</span><span>
-24
144
6
-6
-5
20
</span><span /><span>
-24
x
+
6
y
-
5
z
+
158
=
0 или
</span></span></span>24 x - 6 y + 5 z - 158 = 0<span>
Можно получить это же уравнение так:
</span>Уравнение грани А2А3А4 (условно BDC).
<span><span> | x - Вх <span>y - By </span><span>z - Bz| </span>
</span><span><span> |Dx - Вх</span><span> Dy - By </span><span> Dz - Bz| </span></span><span><span> = 0
|Cx - </span><span> Вх Cy - By </span><span> Cz - Bz|
</span></span></span><span><span> |x - 6 y - 1 z - 4|
</span><span> |7 - 6 5 - 1 </span></span> 4 - 4|<span><span> =0
|</span><span>3 - 6 -6 - 1 10 - 4| </span></span><span>
x - 6 y - 1 z - 4
</span> 1 4 0
-3 -7 6 =
= <span>24·(x - 6) - 6·(y - 1) + 5·(z - 4) = </span><span><span>24·x - 6·y + 5·z - 158. </span>
</span><span>Направляющий вектор плоскости: </span>N<span> = {24,-6,5}
</span>
<span>Уравнение высоты, опущенной из точки A1 на грань A2A3A4:
имеет вид:
{x + Ax)/</span>Nx <span>= (y + Ay)/</span>Ny <span>= (z + Az)/</span>Nz<span><span><span>;
(x + 3)/24 = (y + 6)/-6 = (z + 1)/</span><span>5.
</span></span>
</span>
Для вычисления
расстояния от точки А1(<span>3; 6; 1) до плоскости 24</span>x - 6y + 5z - 158 = 0
используем формулу:
<span>d = </span><span>|A·M</span><span>x</span><span> + B·M</span><span>y</span><span> + C·M</span><span>z + D| / </span><span>√A</span><span>2</span><span> +
B</span><span>2</span><span> + C</span><span>2</span><span>
</span>
<span><span><span /></span></span>
<span>Подставим в формулу данные</span>
<span><span><span><span>
d = <span>|24·3 + (-6)·6 + 5·1 +
(-158)|</span></span><span>
= <span>|72 - 36 + 5 - 158|/</span><span>√(24</span>²<span> +
(-6)</span>²<span> + 5</span>²<span>) =</span></span></span><span><span>
117/√(576 + 36 + 25) = 117/(<span>9√137) </span><span> ≈ </span><span>4.635708782739415.</span></span></span></span></span><span><span><span><span><span><span><span /><span /></span></span></span></span><span><span>
</span></span></span></span>
<span> </span>
