15 задание это неравенство со степенями или логарифмами.
Логарифм - это такой показатель степени, в который нужно возвести основание, чтобы получить число под логарифмом.
Во-первых, нужно знать свойства логарифмов. Например, такие:
1) Log_a(b) = 1/log_b(a)
2) Log_a(b) = -log_a(1/b) = -log_(1/a) (b)
3) Log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)
Причём новое основание с может быть любым числом больше 0 и не равным 1. Обычно берут 10 (lg) или е (ln).
Разберем какой-нибудь пример.
log_(2+x) (1/3) + log_(2-x)(3) <= 0
В первую очередь находим область определения:
{ 2+x > 0; x > -2
{ 2-x > 0; x < 2
{ 2+x ≠ 1; x ≠ -1
{ 2-x ≠ 1; x ≠ 1
x € (-2;-1)U(-1;1)U(1;2)
Теперь решаем само неравенство. По формулам 1) и 2) делаем так, чтобы все логарифмы имели одно и тоже основание.
-1/log_3(2+x) + 1/log_3(2-x) <= 0
Левую часть превращаем в единую дробь, а справа оставляем 0. Это всегда надо делать при решении любых неравенств.
[-log_3(2-x)+log_3(2<wbr />+x)] / [log_3(2-x)*log_3(2+<wbr />x)] <= 0
В числителе разность логарифмов равна логарифму дроби.
log_3[(2+x)/(2-x)] / [log_3(2-x)*log_3(2+<wbr />x)] <= 0
Получили произведение (или дробь) из нескольких частей, можно его решить по методу интервалов.
Нули числителя:
log_3 [(2+x)/(2-x)] = 0 = log_3(1)
(2+x)/(2-x)=1
(2+x/(2-x)-1=0
(2+x-2+x)/(2-x)=0
2x/(2-x)=0
X=0
Нули знаменателя:
1) log_3(2+x)≠0
2+x≠1
X≠-1
2) log_3(2-x)≠0
2-x≠1
X≠1
Теперь рисуем координатную прямую и смотрим, на каких участках в области определения знак отрицательный (у нас дробь меньше 0).
Получаем ответ: x € (-1;0]U(1;2)
