Question

В прямоугольнике ABCD стороны AB и CD вдвое короче сторон BC и AD. На стороне ВС выбрана точка M, так что угол MAB равен 15°. Найдите угол MDA. Ответ выразите в градусах.

Answer 1

Пусть AB = CD = X,
тогда BC = AD = 2X

В прямоугольном треугольнике ABM:
∠MAB = 15°
∠ABM = 90°
∠AMB = 180 - 90 - 15 = 75 (°)
Катет AB = X
Тангенсом ∠AMB является отношение противолежащего ему катета AB к прилежащему катету MB
tg(AMB) = AB / BM
tg(AMB) = X / BM
По таблице Брадиса находим, что тангенсу угла 75° соответствует величина 3,732
X / BM = 3,732
BM = X / 3,732

Опустим перпендикуляр MN на AD. 
ABMN - прямоугольник (AN II BM по условию, AB и MN перпендикулярны параллельным прямым)
BM = AN
AD = AN + DN = 2X
AD = BM + DN = 2X
DN = 2X - BM
DN = 2X - X / 3,732

           2x * 3,732 - x
DN = -----------------------
                3,732

           x * (2 * 3,732 - 1)
DN = --------------------------
                3,732


DN = 6,464x / 3,732


В прямоугольном треугольнике MDN:
Катет MN = X
Катет DN = 6,464x / 3,732

Тангенсом искомого угла MDN является отношение противолежащего ему катета MN к прилежащему катету DN

tg(MDN) = MN / DN

tg(MDN) = X : (6,464x / 3,732)


                    x * 3,732
tg(MDN) = ----------------------
                     6,464x

tg(MDN) = 3,732 / 6,464 = 0,577351485 

По таблице Брадиса находим, что этой величине примерно соответствует угол 30° (tg30° = 0,5774)

∠MDA = 30°

------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Можно без таблицы Брадиса. Объяснения те же, только принимаем
tg75° = tg(30°+45°)

                          x
Тогда BM = ---------------------
                      tg (30°+45°)



Тогда DN = 2X - X / tg (30°+45°)


           X * (2 * tg (30°+45°) - 1)
DN = --------------------------------------
             tg (30°+45°)


                            X * (2 * tg (30°+45°) - 1)
tg(MDN) = X : ----------------------------------------
                                  tg (30°+45°)


                     X * tg (30°+45°)
tg(MDN) = --------------------------------------
                     X * (2 * tg (30°+45°) - 1)


                     tg (30°+45°)
tg(MDN) = --------------------------------
                    (2 * tg (30°+45°) - 1)


  tg (30°+45°)                
-------------------------- = 
2 * tg (30°+45°) - 1       



      tg 30° + tg 45°             2tg 30° + 2tg 45° - 1 + tg 30° * tg 45°
= -------------------------- : ------------------------------------------------------- = 
     1 - tg 30° * tg 45°        1 - tg 30° * tg 45°


       (tg 30° + tg 45°) * (1 - tg 30° * tg 45°)
= ----------------------------------------------------------------------------------- = 
     (1 - tg 30° * tg 45°) * (2tg 30° + 2tg 45° - 1 + tg 30° * tg 45°)


       tg 30° + tg 45°
= ----------------------------------------------------
     2tg 30° + 2tg 45° - 1 + tg 30° * tg 45°

tg 45° = 1
                                                                  
   tg 30° + tg 45°                                            tg 30° + 1
---------------------------------------------------- = --------------------------
  2tg 30° + 2tg 45° - 1 + tg 30° * tg 45°         3tg 30° + 1


tg 30° = 1/√3


  1/√3 + 1          1 + √3
---------------- = -------------- = 0,577350269, что равно 1/√3 
 3/√3 + 1           3 + √3 


Тангенс 30° = 1/√3 ⇒ ∠MDA = 30°