Question

Даю 30 баллов Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка методом Лагранжа y''+y=1/(cos^3(x))

Answer 1

1. Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
   $y''+y=0$
Пользуясь заменой Эйлера $y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение

$k^2+1=0\\ k=\pm i$

Общее решение однородного уравнения:  $\widetilde{y}=C_1\cos x+C_2\sin x$

2. Примем константу за функцию, т.е. $C=C(x)$, тогда

$\displaystyle \left \{ {{C_1'(x)\cos x+C_2'(x)\sin x=0} \atop {C_1'(x)(\cos x)'+C_2'(x)(\sin x)'= \frac{1}{\cos^3x} }} \right. \\ \\ \\ \left \{ {{C'_1(x)\cos x+C_2'(x)\sin x=0} \atop {-C_1'(x)\sin x+C'_2(x)\cos x= \frac{1}{\cos^3x} }} \right.$

Выразим из первого уравнения $C_1'(x):~C_1'(x)=- \dfrac{C_2'(x)\sin x}{\cosx} =-C_2'(x)tgx$ и подставим во второе уравнение, в итоге получаем

$C_1'(x)=- \dfrac{\sin x}{\cos^3x} ~~~~\Rightarrow~~~ C_1(x)=\displaystyle \int \frac{d(\cos x)}{\cos^3x} =- \frac{1}{2\cos^2x} +\widetilde{C_1}\\ \\ C_2'(x)= \frac{1}{\cos^2x}~~~\Rightarrow~~~ C_2(x)=\int \frac{dx}{\cos^2x} =tgx+\widetilde{C_2}$


Подставляя в общее решение однородного уравнения, получим общее решение неоднородного уравнения

$y=C_1\cos x+C_2\sin x \displaystyle -\frac{1}{2\cos x} + \frac{\sin^2x}{\cos x} =C_1\cos x+C_2\sin x-\\ \\ - \frac{1-2\sin^2x}{2\cos x}=\underbrace{C_1\cos x+C_2\sin x}_{\widetilde{y}}-\underbrace{ \frac{\cos 2x}{2\cos x} }_{\overline{y}}$

Где  $\overline{y}$ - частное решение.