Что делает мельник с зерном? Он дробит эти драгоценные зёрна, чтобы получить из них муку.
А такое лексическое значение имеет глагол молоть. От этого глагола и необходимо образовать для данного случая форму третьего лица числа единственного настоящего времени (мельник -- он, делает работу сейчас).
Глагол "молоть" относится к первому спряжению, поэтому в указанной форме правильно писать, что мельник "мелет".
При спряжении этого глагола происходит чередование гласных "о - е" в корне (я мелю, ты мелешь, мы мелем, вы мелете).
О других приведенных формах.
Есть глагол молить, употребляющийся в значении "очень сильно просить, умолять кого-либо о чём-то". Он спрягается по второму типу спряжения, поэтому имеет окончание
в третьем лице числа единственного "-ит".
Мать каждый день молит бога о выздоровлении тяжело больной дочери.
Есть и третий глагол -- "мелить", который употребляется в значении "натирать что-то мелом". Этот глагол тоже относится ко второму спряжению, в форме третьего лица единственного числа имеет окончание "-ит" -- мелИт. Произносится с ударением на окончание (оно и выделено).
Например. Бильярдист мелит свой кий перед ударом по шару. Сестра мелит потускневшие стеклянные пуговицы.
Таким образом, из перечисленных в вопросе форм молит, молет, мелет или мелит правильно употреблять только формы такие: мелет (от глагола "молоть"), молит (от глагола "молить") и "мелит" (от глагола "мелИть").
Ни один из этих трех глаголов (молоть, молить и мелить) не имеет формы "молет".