Question

1/( x+1)+2/(│x│-1 ) ≥ 2/( x-1)

Answer 1

ОДЗ /х/≠1⇒х≠-1 и х≠1
1)x<0
1/(x+1)+2/(-x-1)≥2/(x-1)
1/(x+1)-2/(x+1)-2/(x-1)≥0
1/(x+1)+2/(x-1)≤0
(x-1+2x+2)/(x+1)(x-1)≤0
(3x+1)/(x-1)(x+1)≤0
x=-1/3  x=1  x=-1
         _              +            _                  +
---------------------------------------------------------
                 -1              -1/3            1
x∈(-∞;-1) U [-1/3;1)
2)x≥0
1/(x+1)+2/(x-1)-2/(x-1)≥0
1/(x-1)≥0
x-1>0⇒x>1⇒x∈(1;∞)
Объединим решения
x∈(-∞;-1) U [-1/3;1) U (1;∞)

Answer 2

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{|x|-1} \geq \frac{2}{x-1}$
Воспользуемся определением абсолютной величины: $\left \{ {{a>0=>|a|=a} \atop {a=0=>|a|=0}}\atop {a<0=>|a|=-a} \right.$
$\left[\begin{array}{ccc} \left \{ {{x \geq 0} \atop {\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \geq \frac{2}{x-1}}} \right. \\ \left \{ {{x<0} \atop {\frac{1}{x+1} + \frac{2}{(-x)-1} \geq \frac{2}{x-1}}} \right. \end{array}\right$
Решаем отдельные случаи
________________________________________________
$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \geq \frac{2}{x-1}$
Отметим ОДЗ:
$\left \{ {{x+1 \neq 0} \atop {x-1 \neq 0}} \right. \to \left \{ {{x \neq -1} \atop {x \neq 1}} \right.$
Домножим к обеям части (x-1)(x+1)
$x-1+2x+2-2x-2=0 \\ x-1=0 \\ x=1$

Решений этой неравенства: x ∈ [0;1)U(1;+∞).
________________________________________________
Другой случай
          ________             _______             ______                   
$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{-x-1} \geq \frac{2}{x-1} \\ \\ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1} \geq 0 \\ \\ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1}=0|\cdot(x+1)(x-1) \\ \\ x-1-2x+2-2x-2=0 \\ \\ -3x-1=0 \\ \\ x= \frac{1}{3}$
Решение этой неравенства: x ∈ (-∞;-1)U[-1/3;1)
       ________          __________            ________           

Объедененное решение системы неравенства: $x \in (-\infty;-1)\cup[- \frac{1}{3} ;1)\cup(1;+\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty;-1)\cup[- \frac{1}{3} ;1)\cup(1;+\infty)$