Question

Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши.y"-3y'-4xy^4=sinx, y(0), y'(0)=2

Answer 1

Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши.
y"-3y'-4xy^4=sinx,  y(0),y'(0)=2
Вопрос чему равен y(0).
При решении задачи принял, что у(0) = y'(0) = 2.
Хотя может быть любое другое значение.
Решение:
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые четыре отличные от нуля  значения y(0),y'(0),y"(0),у"'(0).
По условию задачи у(0) = y'(0) = 2  Выразим из уравнения  y"(0):
  y" - 3y' - 4xy^4 = sin(x)
  y"= sin(x) + 3y' + 4xy^4
  y"(0)  = sin(0) +3y'(0) +4*0*y(0)^4 = 3*2 = 6
 Продиференцируем уравнение и найдем у"'(0)
   y"' - 3y'' - 4y^4 - 12xy³ = cos(x)
   y"' = cos(x) + 3y'' + 4y^4 + 12xy³ = cos(x)
   y"'(0) = cos(0) +3*6 +4*2^4 +12*0*2³  = 1+18+64 = 83
   Окончательно получим:
   Ряд Mакларена    y =y(0)+y'(0)*x+y"(0)x²/2! + y"'(0)x³/3!+...

    y= 2 +2x + (6/2!)x² + (83/3!)x² = 2 + 2x + 3x² + (83/6)x³