Question

Медіана і висота прямокутного трикутника проведена до гіпотенузи дорівнює 50 см і 48 см. Знайти сторони трикутника

Answer 1

Нехай a,b -катети, с - гіпотенуза, $m_c$=50 см - медіана, $h_c$ - висота, проведені до гіпотенузи.

За властивістю прямокутного трикутника $m_c=R=\frac{c}{2}$
Звідки гіпотенуза дорівнює $c=2*50=100$

Звідси площа прямокутного трикутника дорівнює
$S=\frac{1}{2}ch_c=\frac{1}{2}*100*48=2400$

$S=\frac{1}{2}ab$
$ab=2S=2*2400=4800$
за теоремою Піфагора $a^2+b^2=c^2$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=c^2+4S=100^2+4*2400=19600=140^2$
$a+b>0; a+b=140$

Маємо $ab=4800, a+b=140$
$b=140-a; a(140-a)=4800$
$140a-a^2-4800=0$
$a^2-140a+4800=0$
$D=(-140)^2-4*1*4800=400=20^2$
$a_1=\frac{140-20}{2*1}=60; b_1=140-60=80$
$a_2=\frac{140+20}{2*1}=80; b_2=140-80=60$
значить катети трикутника дорівнюють 60 см і 80см
відповідь: 60 см, 80 см