Дано уравнение кривой :
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:точки ↓<span>
</span>
B=<span>Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(0 - z)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (1 - z)y1 = 0
Характеристическое уравнение</span>:
Характеристическое уравнение:
0 - λ ;0 =
<span><span><span>
0 ;</span>1 - λ</span>= </span>
D = (-1)2<span> - 4 • 1 • 0 = 1</span>
x1=1
x2=0
Исходное уравнение определяет параболу (λ2<span> = 0)</span>
Вид квадратичной формы:
y2
Выделяем полные квадраты:
для y1:
(y12-2•3y1<span> + 3</span>2) -1•32<span> = (y</span>1-3)2-9
Преобразуем исходное уравнение:
(y1-3)2<span> = 16x -16</span>
Получили уравнение параболы:
(y - y0)2<span> = 2p(x - x</span>0)
Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (1;3)
Параметр p = 8
Координаты фокуса:
F=
Уравнение директрисы: x = x0<span> - p/2</span>
x = 1 - 4 = -3