Question

Исследуйте функцию f(x)= -$x^{2}$+4x-3 и постройте её график: Найдите значение функции в точках 1;-1;2;4;x+1.

Answer 1

ДАНО
Y= - x²+4*x-3
ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная. Вертикальных асимптот - нет. 

2. Пересечение с осью Х. Решаем уравнение - Y=0. 

Корни -  х1 = 1 х2 = 3. Дополнительные точки - А(1,0) и В(3,0) 

Интервалы знакопостоянства: 

положительна (между корнями) Х∈(1;3)

отрицательна (вне корней) - Х∈(-∞;1)∪(3;+∞)

3. Пересечение с осью У.  У(0) = - 3. Точка С(0,-3)

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = -∞ 

Горизонтальных асимптот - нет

5. Исследование на чётность.Y(-x) = -x²-4*х-3 ≠ Y(x) ≠ -Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= -2*x+4 = -2*(x-2). 

Корень Х=2 . Схема знаков производной.

(-∞)__(>0 возрастает)__(2 - максимум)___(<0 убывает)_ (+∞)

7. Локальные экстремумы. Максимум – Ymax(2) =1. 

8. Интервалы монотонности. 

Возрастает - Х∈(-∞;2), убывает = Х∈(2;+∞). 

9. Вторая производная - Y"(x) = -2. 

Корня производной - нет, точек перегиба Y"(x)= 0 - нет. 

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;+∞)

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;1)  

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(oo)(k*x+b – f(x).  

k=lim(∞)Y(x)/x = lim(∞) (-x+4) = - ∞.

Наклонных асимптот - нет. 

12. График в приложении.