Объем пирамиды вычисляется по формуле: V = <span>⅓SH, - где S - площадь основания пирамиды, H - ее высота. Для решения задачи остается вычислить площадь основания.
Площадь треугольника, в котором известны три стороны, являющиеся натуральными числами, удобно вычислять с помощью формулы Герона: </span><span>S = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c)), - где p - полупериметр треугольника.
p = 0,5*(4+5+7) = 8 (см).
Тогда </span>S = √(8·(8 - 5)·(8 - 4)·(8 - 7)) = √8*3*4*1 = √96 = 4√6 (см^2).
V = ⅓SH = ⅓ * 4√6 * 12 = 16√6 (cм^3).
Ответ: 16√6 см^3.
Усеченная пирамида АВСА1В1С1, в основаниях правильные треугольники АВС и А1В1С1, АС=7, А1С1=5, ОО1-высота пирамиды, О и О1 -центры треугольников, - пересечение высот=медиан=биссектрис, проводим высоты ВН и В1Н1, проводим апофему Н1Н, треугольник АВС, ВН=АС*корень3/2=7*корень3/2, треугольник А1В1С1, В1Н1=А1С1*корень3/2=5*корень3/2, при пересечении медианы делятся в отношении 2/1 начиная от вершины, ВО=2/3ВН=(2/3)*((7*корень3/2)=7*корень3/3, ОН=1/3ВН=(1/3)*(7*корень3/2)=7*корень3/6, треугольник А1В1С1, В1О1=2/3*В1Н1=(2/3)*(5*корень3/2)=5*корень3/3, О1Н1=1/2В1Н1=(1/3)*(5*корень3/2)=5*корень3/6, прямоугольная трапеция О1В1ВО, уголВ1ВО=45, проводим высоту В1К на ВО, ОО1В1К прямоугольник ОК=О1В1=5*корень3/3, КВ=ВО-ОК=7*корень3/3-5*корень3/3=2*корень3/3, треугольник КВ1В равнобедренный, угол КВ1В=90-45=45, КВ=В1К=О1О=2*корень3/3, рассматриваем прямоугольную трапецию О1ОНН1, проводим высоту Н1Т на ОН, ТН1О1О прямоугольник О1О=Н1Т=2*корень3/3, О1Н1=ОТ=5*корень3/6, НТ=ОН-ОТ=7*корень3/6-5*корень3/6=2*корень3/6, треугольник Н1Нт прямоугольный, Н1Н=корень(Н1Т в квадрате+НТ в квадрате)=корень(12/9+12/36)=корень(5/3), площадь боковой=1/2(периметрАВС+преиметрА1В1С1)*Н1Н=1/2*(3*7+3*5)*корень(5/3)=18*корень(5/3)=6*корень15
Т.к. треугольник - тупоугольный, то высота AM перпендикулярна продолжению стороны CB. Угол ABM смежный с углом АВС, значит, угол ABM = 30°. Т.к. против угла в 30° в прямоугольной треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы, а AB - гипотенуза, то AB = 2AM = 2*12 = 24.