Question

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке H. Известно что BH=1 и угол AHC=105. найдите радиус окружности описанной около треугольника ABC.

Answer 1

Известно, что отрезок высоты от вершины до ортоцентра (то есть до точки пересечения высот) в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. 
В нашем случае, если из центра O описанной окружности опустить перпендикуляр OD на AC, то OD=OB/2=1/2. 

Далее, ∠C_1HA_1=∠AHC=105° как вертикальные, а поскольку 
∠BC_1H=∠BA_1H=90°⇒
∠C_1BA_1=360°-90°-90°-105°=75°. Поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника ABC окружность, а угол AOC - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠AOC=2·75=150°,
а ∠AOD=(1/2)AOC=75°.

Наконец, ΔAOD прямоугольный, AO гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒OD/R=cos 75°⇒
R=OD/(cos 45°+30°)=(1/2)/(cos 45°cos 30°- sin 45° sin 30°)=
1/((√6-√2)/2)=2(√6+√2)/(6-2)=(√6+√2)/2

Факт, приведенный в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. Присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт

Answer 2

Треугольники АА1С и СС1А - прямоугольные с общей гипотенузой АС.Существует возможность вписать Четырехугольник АС1А1С в окружность, диаметром которой будет АС. Так как вписанные углы С1А1А ис1СА опираются на общую дугу АС1, то эти углы равны. Ч.Т.Д.