Ост-корень слова остаться. Ать оконч., ся суф.
У слова живо проверочное слово живой
Согласование - унылые песни, в густой зелени, ужасную громаду, несчастная Москва, добрая старушка;
Управление - побежала на погреб, смотрела в землю, волновались в воздухе, отдыхали под розами, сидели на траве;
Примыкание - переселялся мысленно, тщетно сокрыть, свободно плавающих, тихонько искали, становилось темно.