Question

Решить уравнение Лагранжа. Подробное решение пожалуйста y = 2xy' - 4y'3.

Answer 1

Это дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенной относительно производной. Здесь имеем дело с уравнение Лагранжа
Будем решать его методом введения параметра.

Пусть $y'=p$, в результате чего, получаем новое уравнение
$y=2xp-4p^3$

Дифференцируя обе части, получаем : 
    $dy=2xdp+2pdx-12p^2dp$

И поскольку из замены $y'=p~~~\Rightarrow~~~ dy=pdx$, то получим

$pdx=2xdp+2pdx-12p^2dp\\ 2xdp+pdx-12p^2dp=0\\ \\ \displaystyle \frac{dx}{dp} + \frac{2x}{p} -12p=0$
Последнее уравнение - линейное уравнение относительно $x(p)$. Интегрирующий множитель будет : $\mu(p)=\exp\bigg\{\displaystyle \int \frac{2dp}{p} \bigg\}=\exp\bigg\{\ln p ^2\bigg\}=p^2$

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения имеет вид:
$x(p)= \dfrac{\int p^2\cdot12pdp+C}{p^2} = \dfrac{ 3p^4+C }{p^2}=3p^2+ \dfrac{C}{p^2}$

Подставляя это выражение для x в уравнение Лагранжа, находим:
$y=2\bigg(3p^2+ \dfrac{C}{p^2}\bigg)p-4p^3=6p^3+ \dfrac{2C}{p} -4p^3=2p^3+\dfrac{2C}{p}$

Таким образом, общее решение в параметрической форме определяется системой уравнений:
       $\displaystyle ~~~~~~ \left \{ {{x(p)=3p^2+ \dfrac{C}{p^2}} \atop {y(p)=2p^3+\dfrac{2C}{p}}} \right.$