Ответ:![y=e^{5x}(C_1+C_2x)](https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7B5x%7D%28C_1%2BC_2x%29)
![y = 5e^{0,5x^2-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%205e%5E%7B0%2C5x%5E2-x%7D)
Пошаговое объяснение:
Определить общее решение дифференциального уравнения:
y" - 10y' + 25y = 0.
Решение
Характеристическое уравнение имеет вид:
k² - 10k + 25 = 0
(k - 5)² = 0
k₁ = k₂ = 5
Корни действительные и равные k₁ = k₂ = k . В этом случае общее решение уравнения:
![y=e^{kx}(C_1+C_2x)](https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7Bkx%7D%28C_1%2BC_2x%29)
![y=e^{5x}(C_1+C_2x)](https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7B5x%7D%28C_1%2BC_2x%29)
Определить частное решение дифференциального уравнения:
y'+y=xy, удовлетворяющее начальному условию y(2)=5.
Решение
y' + y = xy
y' = xy - у
Делим обе части уравнения на у
![\frac{y'}{y} = x-1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By%27%7D%7By%7D%20%3D%20x-1)
![\frac{dy}{y} = (x-1)dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D%20%3D%20%28x-1%29dx)
Интегрируем обе части уравнения
![\int\limits{\frac{1}{y} } \, dy =\int\limits{(x-1)} \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%7B%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D%20%7D%20%5C%2C%20dy%20%3D%5Cint%5Climits%7B%28x-1%29%7D%20%5C%2C%20dx)
ln|y| -lnC = 0.5x² - x
Запишем общее решение ДУ
![y = Ce^{0,5x^2-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20Ce%5E%7B0%2C5x%5E2-x%7D)
Найдем частное решение ДУ подставив начальные условия y(2)=5
![5 = Ce^{0,52^2-2}](https://tex.z-dn.net/?f=5%20%3D%20Ce%5E%7B0%2C52%5E2-2%7D)
![C = 5](https://tex.z-dn.net/?f=C%20%3D%205)
Поэтому частное решение ДУ
![y = 5e^{0,5x^2-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%205e%5E%7B0%2C5x%5E2-x%7D)