Question

Теория вероятности. Очень нужна помощь.
3. У сборщика 12 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них пять - первого вида, четыре - второго и три - третьего. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две - второго и одна - третьего?
4. В механизм входят две одинаковые детали. Механизм не будет работать, если обе поставленные детали будут уменьшенного размера. У сборщика в наличии 10 деталей, из них 3 - меньше стандарта. Определить вероятность того, что механизм будет работать нормально, если сборщик берет для него две детали наугад.
5. Брошено две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти вероятность того, что выпали две "пятерки", если известно, что сумма выпавших очков делится на пять.
6. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: а) восемь; б) по крайней мере восемь; в) не менее трех.
7. На трех автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором -0,98 и на третьем - 0,97. Изготовленные в течение дня на трех станках не рассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь не соответствует стандарту.
8. Число бракованных микросхем на 1000 считается равновозможным от 0 до 3 . Наудачу опробованы 100 микросхем, оказавшиеся исправными. Какова вероятность, что все схемы исправны?

Answer 1

3. Всего исходов С из 12 по 6 = 12!/(6!*6!)=12*11*10*9*8*7/(6*5*4*3*2)=924
Положительных исходов: (С из 5 по 3)*(С из 4 по 2)*(С из трех по 1)=5!/(3!*2!)*4!/(2!*2!)*3!(1!*2!)=5*4/2*4*3/(2*2)*3=90
Вероятность равна 90/924=15/154 
(чуть меньше 10%)
4. Всего исходов С из 10 по 2 = 10!/(2!*8!)=10*9/2=45.
Исходов с 2 бракованными деталями: С из 3 по 2 = 3!/(2!*1!)=3.
Вероятность неправильной работы равна 3/45=1/15
5. На двух костях может выпасть число от 2 до 12. Из них делятся на 5 только 5 и 10.
Комбинации, составляющие 5:
1 и 4, 4 и 1
2 и 3, 3 и 2, всего 4 комбинации
Комбинации, составляющие 10:
4 и 6, 5 и 5, 6 и 4 - всего 3 комбинации.
Итого, всего 7 комбинаций, при которых сумма выпавших очков делится на 5.
Исход 5 и 5 - единственный. Значит, вероятность его - 1/7
6. Вероятность x успешных событий из N испытаний, при вероятности одного успешного события p равна:
N!/(x!(N-x)!)*p^x*(1-p)^(N-x), 
соответственно:
а) 10!/(8!*2!)*0,7^8*0,3^2~23,347%
б) Нужно к величине полученной в предыдущем пункте, добавить вероятность всхода 9 семян и 10 семян.
Вероятность всхода 10 семян - 0,7^10~2,825%
Вероятность всхода 9 семян равна вероятности невсхода одного семени и равна 10*0,7^9*0,3~12,106%
Итого, получаем 23,347+2,825+12,106=38,275%
в) Чтобы найти вероятность того, что взошло не менее трех растений, нужно из 100% вычесть вероятность того, что не взошло ни одного растения, что взошло только одно растение и что взошло только 2 растения.
Вероятность, что не взошло ни одного растения равна 0,3^10=0,0006%
Что взошло только одно растение: 10*0,3^9*0,7=0.014%
Что взошло только 2 растения: 10*9/2*0,3^8*0,7^2=0,145%.
Сумма этих вероятностей 0,16%.
Значит, вероятность всхода не менее 3-х растений равна 100%-0,16%=99,84%.
7. Вероятность несоответствия стандарту детали на 1-ом станке равна 1%, на втором - 2%, на третьем - 3%.
Значит, вероятность несоответствия стандарту наугад взятой детали равна 0,3*1%+0,25*2%+0,45*3%=2,15%
8. Итак, допишу:
По условию, вероятности того, что среди 1000 деталей 0,1,2,3 бракованных равны, а значит каждая равна 1/4.
Найдем количество исходов, при которых среди 100 деталей не попалась бракованная для каждого значения количества бракованных деталей.
Для 0 бракованных деталей число таких исходов равно С из 1000 по 100 - С¹°°₁₀₀₀.
Для 1 бракованной детали число исходов равно С¹°°₁₀₀₀-С⁹⁹₉₉₉
Для 2-х бракованных деталей число равно С¹°°₁₀₀₀-2*С⁹⁹₉₉₉-С⁹⁸₉₉₈ (из общего количества выбора 100 деталей вычитает те исходы, когда попадается 1 бракованная деталь и исходы, когда попадаются 2 бракованных детали)
Для 3-х бракованных деталей число "удачных" исходов равно С¹°°₁₀₀₀-С¹₃*С⁹⁹₉₉₉-С²₃*С⁹⁸₉₉₈-С³₃*С⁹⁷₉₉₇.
Соответственно, вероятность, что все схемы исправны равна

С¹°°₁₀₀₀/(С¹°°₁₀₀₀+С¹°°₁₀₀₀-С⁹⁹₉₉₉+С¹°°₁₀₀₀-2*С⁹⁹₉₉₉-С⁹⁸₉₉₈+С¹°°₁₀₀₀-С¹₃*С⁹⁹₉₉₉-С²₃*С⁹⁸₉₉₈-С³₃*С⁹⁷₉₉₇)=С¹°°₁₀₀₀/(4*С¹°°₁₀₀₀-6*С⁹⁹₉₉₉-4*С⁹⁸₉₉₈-С⁹⁷₉₉₇)
С⁹⁹₉₉₉=С¹°°₁₀₀₀*100/1000
С⁹⁸₉₉₈=С¹°°₁₀₀₀*100*99/(1000*999)
С⁹⁷₉₉₇=С¹°°₁₀₀₀*100*99*98/(1000*999*998)
Соответственно, вероятность равна
1/(4-6*0,1-4*0,1*11/111-0,1*11/111*98/998)=29,8538%