Исследовать функцию и построить график
<span>
1) Область определения функции. </span>Функция
определена на всей числовой оси, то есть
<span>
2) Точки пересечения графика функции
с осью OY
</span>
точка пересечение (0; -7)
Тоски пересечения с осью ОХ, т.е. у=0, тогда
![8x^2-x^4-7 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=8x%5E2-x%5E4-7+%3D+0)
Пусть x² = t, тогда
![-t^2+8t-7 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=-t%5E2%2B8t-7+%3D+0)
Корни квадратного уравнения t=1 и t=7
Сделаем обратную замену
![x_{1,2} = \pm 1 \ ; \ x_{3,4} = \pm \sqrt{7}](https://tex.z-dn.net/?f=+x_%7B1%2C2%7D+%3D+%5Cpm+1+%5C+%3B+%5C++x_%7B3%2C4%7D+%3D+%5Cpm++%5Csqrt%7B7%7D++)
Получили еще четыре точки
![(- \sqrt{7}; 0) \ ; \ (- 1; 0) \ ; \ ( \sqrt{7}; 0) \ ; \ (1; 0)](https://tex.z-dn.net/?f=%28-+%5Csqrt%7B7%7D%3B+0%29+%5C+%3B+%5C+%28-+1%3B+0%29+%5C+%3B+%5C+%28+%5Csqrt%7B7%7D%3B+0%29+%5C+%3B+%5C+%281%3B+0%29)
<span>
</span>
3) Исследуем функции на четность
![f(-x) = 8(-x)^2-(-x)^4-7 = 8x^2-x^4-7](https://tex.z-dn.net/?f=f%28-x%29+%3D+8%28-x%29%5E2-%28-x%29%5E4-7+%3D+8x%5E2-x%5E4-7)
<span>Так как
, то функция является четной</span>
4) Функция не имеет точек разрыва, поэтому график не имеет вертикальных асимптот.
Найдем наклонные асимптоты
, где
![k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{8x^2-x^4-7}{x} = - \infty](https://tex.z-dn.net/?f=k+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bx%7D+%3D+%5Cfrac%7B8x%5E2-x%5E4-7%7D%7Bx%7D+%3D+-+%5Cinfty)
Наклонных
асимптот тоже нет.
5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную
y' и приравняем ее к нулю y' = 0
![f'(x) = (8x^2-x^4-7)' = 16x-4x^3](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29+%3D+%288x%5E2-x%5E4-7%29%27+%3D+16x-4x%5E3)
Тогда
![16x-4x^3 = 0 \\ \\ 4x (4 - x^{2} ) = 0 \\ \\ x = 0 \ ; \ x = \pm2](https://tex.z-dn.net/?f=16x-4x%5E3+%3D+0++%5C%5C++%5C%5C+4x+%284+-+x%5E%7B2%7D+%29+%3D+0+%5C%5C++%5C%5C+x+%3D+0+%5C+%3B+%5C+x+%3D+%5Cpm2)
Получились три критические точки.
Эти
точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак
производной f'(x)<span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span /></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span><span /></span></span><span /></span> в
каждом из интервалов
На первом x < -2 , f'(x) > 0 - функция возрастает
На первом -2 < x < 0 , f'(x) < 0 - функция убывает
На первом 0 < x < 2 , f'(x) > 0 - функция возрастает
На первом x > 2 , f'(x) > 0 - функция убывает
Таким образом в при х=-2 и х = 2 - тока максимума,
а при х = 0 - тока минимума.