Question

Помогите пожл решить!!!
нужно:
1)найти первую производную
2)найти вторую производную
3)определить интервалы возрастания и убывания,экстремумы
4)точки перегиба
5)построить график
желательно написать все подробно,что от куда взялось)))спасибо)

Answer 1

D(y)=(-∞;-1)U(-1;+∞)
Находим первую производную по формуле производная дроби:
$1)(\frac{u}{v})`= \frac{u`\cdot v-u\cdot v`}{v ^{2} }$
$y`= \frac{(4x)`(x+1) ^{2}-4x\cdot((x+1) ^{2})` }{((x+1) ^{2}) ^{2} }= \frac{4(x+1) ^{2}-4x\cdot 2(x+1) }{(x+1) ^{4} }= \frac{(x+1) (4(x+1)-4x\cdot2) }{(x+1) ^{4} }= \\ =\frac{(4x+4-8x) }{(x+1) ^{3} }=\frac{4-4x}{(x+1) ^{3} }$
$2)y``= \frac{(4-4x)`(x+1) ^{3}-(4-4x)\cdot(x+1) ^{3})` }{((x+1) ^{3}) ^{2} }= \frac{-4\cdot (x+1) ^{3}-(4-4x)\cdot3(x+1) ^{2} }{(x+1) ^{6} } = \\ =\frac{(x+1) ^{2} (-4(x+1)-(4-4x)\cdot3) }{(x+1) ^{6} }= \frac{-4x-4-12+12x }{(x+1) ^{4} }= \frac{8x-16 }{(x+1) ^{4} }$
3) y`=0   ⇒   4-4x=0     ⇒ x=1
 при переходе через точку х=1 производная меняет знак с + на - , значит х=1- точка максимума.
у(1)=4/(1+1)²=1/4
в точке х = -1 функция не определена, производная не определена. Это точка разрыва второго рода
$x\rightarrow-1-0, y\rightarrow-\infty \\ x\rightarrow-1+0, y\rightarrow-\infty$
4)y``=0    ⇒  8х-16=0    ⇒ x=2
x=2 - точка перегиба, так как вторая производная меняет знак с - на +
слева от точки 2 кривая выпукла вверх, справа от точки 2 - выпуклость вниз
5) график. см  приложение