Question

Вычислить интеграл функции комплексного переменного. ∫ Rezdz │z-a│=R

Answer 1

Подвинем начало координат в центр окружности, получится интеграл по окружности |z|<R от Re(z - a) dz. 
Вспоминая, что Re(z - a) = Re z - Re a, а также интеграл по окружности от dz равен нулю, получаем, что надо посчитать
$\displaystyle\int\limits_{|z-a|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,(z-a)\,dz=\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz$
Параметризация: z = R * exp(i*phi), 0 <= phi <= 2pi
$\displaystyle\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int\limits_0^{2\pi}R\cos\varphi\cdot iRe^{i\varphi}\,d\varphi=iR^2\int\limits_0^{2\pi}e^{i\varphi}\cos\varphi\,d\varphi=\\=iR^2\int\limits_0^{2\pi}(\cos\varphi+i\sin\varphi)\,\cos\varphi\,d\varphi=iR^2(\pi+0)=iR^2\pi$