Слова ПРИ НЁМ, а также В НЁМ, О НЁМ -- это местоимение ОН или ОНО в предложном падеже с разными предлогами. А предлоги с местоимениями пишутся всегда раздельно, как и предлоги с существительными, хотя между предлогом и местоимением (в отличие от существительных) вставить прилагательное невозможно. Невозможность вставки прилагательного объясняется тем, что местоимение заменяет собой имя существительное, что и можно делать для проверки правильности написания слова.
Например. На прогулках при мальчике всегда была собака. Она при нем была верной защитницей.
Чтобы не повторяться, во втором предложении существительное МАЛЬЧИК было заменено местоимением ОН.
P.S. Хочу одновременно заметить, что ПРИ НЁМ не является словосочетанием по определению, что почему-то очень часто путают учащиеся. Это просто сочетание служебного слова со знаменательной частью речи (предлог + местоимение), и связаны эти слова только грамматически, а не по смыслу, что ещё требуется для словосочетания. Сочетание служебной части речи со знаменательной -- это словоформа.