Question

Решите пожалуйста примеры за 11 класс, хотя бы 3 вопрос)

Answer 1

3) 

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y'=6x² – 6х = 0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:

6x(х-1) = 0,

х1 = 0,  х2  = 1.

Результат: y=0. Точки: (0; 1) и (1; 0).

Интервалы возрастания и убывания функции:

Исследование на точки экстремума и монотонность. Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.

На промежутках находят знаки производной . Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =   -1     0       0,5       1        1,5
y' =  12    0      -1,5        0        4,5.

 ·       Минимум функции в точке: х = 1, y = 0,

·       Максимум функции в точке: х = 0.  y = 1.

·       Возрастает на промежутках: (-∞; 0) U (1; ∞)

·       Убывает на промежутке: (0; 1)

Точки перегибов графика функции:

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:

y''=12x – 6 = 0

Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:

   x = 6/12 = 0,5. Точка: (0,5; 0.5)

Интервалы выпуклости, вогнутости:

Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

x =    0      0,5      1
y'' = -6        0        6.

·       Вогнутая на промежутке: (0,5; ∞).

·       Выпуклая на промежутке: (-∞; 0,5).