Question

Найти пределы используя правило Лопиталя

Answer 1

A) Неопределённость ∞-∞ приводим к неопределённости 0/0, которую раскрываем по правилу Лопиталя.
Сначала приводим к общему знаменателю, затем два подряд раза применяем правило Лопиталя.

$\lim_{x \to \inft0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{arctgx} ) = \lim_{x \to \inft0} ( \frac{arctgx-x}{x*arctgx} ) = \lim_{x \to \inft0} ( \frac{(arctgx-x)'}{(x*arctgx)'} ) = \\ \\ = \lim_{x \to \inft0} ( \frac{ \frac{1}{x^2+1} -1}{arctgx + x* \frac{1}{x^2+1} } ) = \lim_{x \to \inft0} ( \frac{ \frac{-2x}{(x^2+1)^2} -0}{ \frac{1}{x^2+1} + \frac{1*(x^2+1)-x*2x}{(x^2+1)^2} } ) =$

$= \frac{ \frac{-2*0}{(0^2+1)^2} }{ \frac{1}{0^2+1} + \frac{1*(0^2+1)-0*2*0}{(0^2+1)^2} } = \frac{ \frac{0}{1} } { \frac{1}{1} + \frac{1-0}{1} } = \frac{0}{2} = 0$

б) Используем свойство логарифма $a = e^{lna}$

$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{ \frac{1}{x} } = \lim_{x \to \infty} e^{ ln(1+x)^{ \frac{1}{x} } } = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} ln(1+x) } = \\ \\ = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{ln(1+x) }{x} } = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{(ln(1+x))' }{x'} } = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{1+x} }{1} } = \\ \\ = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+x}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+\infty}} = e^0 = 1$