Question

1) Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 35. Якщо до першого і другого додати по 1, а від третього відняти 4, то отримані числа утворюють арифметичну прогресію. Знайти ці числа.
2) Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 21. Якщо до першого і другого додати по 4, а до третього - 1, то отримані числа утворять арифметичну прогресію. Знайти ці числа.
__________________________________________________________________
Решите кому не лень. По балам не жадничаю.

Answer 1

Пусть последовательность $a,b,c$ - геометрическая прогрессия.
$a+b+c=35$ - по условию.
По свойству арифметической и геометрической прогрессии:
$a_2= \frac{a_1+a_3}{2} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b_2^2=b_1\cdot b_3$ соответственно.

$a+1,b+1,c-4$ - арифметическая прогрессия.

Составим систему

$\begin{cases} & \text{ } a+b+c=35 \\ & \text{ } a+1+c-4=2(b+1) \\ & \text{ } b^2=ac \end{cases}$

Решив эту систему уравнений, получаем такое решение:

$\begin{cases} & \text{ } a=20 \\ & \text{ } b=10 \\ & \text{ } c=5 \end{cases}$        и                 $\begin{cases} & \text{ } a=5 \\ & \text{ } b=10 \\ & \text{ } c=20 \end{cases}$


Аналогично делаем и со вторым заданием.

$a+4,b+4,c+1$ - арифметическая прогрессия
$a+b+c=21$ - по условию

Составим систему

$\begin{cases} & \text{ } a+b+c=21 \\ & \text{ } a+4+c+1=2(b+4) \\ & \text{ } b^2=ac \end{cases}$

Решив эту систему, получаем такие решения:

$\begin{cases} & \text{ } a=12 \\ & \text{ } b=6 \\ & \text{ } c=3 \end{cases}$            и                  $\begin{cases} & \text{ } a=3 \\ & \text{ } b=6 \\ & \text{ } c=12 \end{cases}$