Рассмотрим равенство
<span>у </span>= 2<span>х </span>+ 1. (1)
Каждому значению буквы х это равенство ставит в соответствие вполне определенное значение буквы у. Если, например, <span>x </span>= 0, то <span>у </span>= 2 • 0 + 1 = 1; если х = 10, то <span>у </span>= 2 • 10 + 1 = 21; при х = — 1/<span>2 </span> имеем у = 2 • (— 1/<span>2 </span>) + 1= 0 и т. д. Обратимся к еще к одному равенству:
<span>у </span>= х 2 (2)
Каждому значению х это равенство, как и равенство (1), ставит в соответствие вполне определенное значение у. Если, например, х = 2, то у = 4; при х = — 3 получаем у = 9 и т. д. Равенства (1) и (2) связывают между собой две величины х и у так, что каждому значению одной из них (х) ставится в соответствие вполне определенное значение другой величины (у).
<span>Если каждому значению величины х соответствует вполне определенное значение величины у, то эта величина у называется функцией от х. Величина <span>х </span>при этом называется аргументом функции у.</span>
Таким образом, формулы (1) и (2) определяют две различные функции аргумента х.
Функция аргумента <span>х </span>, имеющая вид
у = ах + b, (3)
где а и b — некоторые заданные числа, называется линейной. Примером линейной функции может служить любая из функций:
у = х + 2 (а = 1, b = 2);
у = — 10 (а = 0, b = — 10);
у = — 3х (а = — 3, b = 0);
у = 0 (а = b = 0).
Как известно из курса VIII класса, <span>графиком функции у = ах + b является прямая линия</span>. Поэтому-то данная функция и называется линейной.
Напомним, как строится график линейной функции у = ах + b.
1. График функции у = b. При a = 0 линейная функция у = ах + b имеет вид у = b. Ее графиком служит прямая, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке с ординатой b. На рисунке 1 вы видите график функции у = 2 (b > 0), а на рисунке 2— график функции у = — 1 (<span>b </span>< 0).
Если не только а, но и b равно нулю, то функция у= ах+ b имеет вид у = 0. В этом случае ее график совпадает с осью х (рис. 3.)
2. График функции у = ах. При b = 0 линейная функция у = ах + b имеет вид у = ах.
Если а =/= 0, то графиком ее является прямая, проходящая через начало координат и наклоненная к оси х под углом φ, тангенс которого равен <span>а </span>(рис. 4). Для построения прямой у = ах достаточно найти какую-нибудь одну ее точку, отличную от начала координат. Полагая, например, в равенстве у = ах х = 1, получим у = а. Следовательно, точка М с координатами (1; а) лежит на нашей прямой (рис. 4). Проводя теперь прямую через начало координат и точку М, получаем искомую прямую у = аx.
На рисунке 5 для примера начерчена прямая у = 2х (<span>а </span>> 0), а на рисунке 6 — прямая у = — х (а < 0).
3. График функции у = ах + b.
Пусть b > 0. Тогда прямая у = ах + b получается посредством параллельного сдвига прямой у = ах на b единиц вверх. В качестве примера на рисунке 7 показано построение прямой у = <span>x/</span>2 + 3.
Если b < 0, то прямая у = ах + b получается посредством параллельного сдвига прямой у = ах на — b единиц вниз. В качестве примера на рисунке 8 показано построение прямой у = <span>x/</span>2 — 3
Прямую у = ах + b можно построить и другим способом.
Любая прямая полностью определяется двумя своими точками. Поэтому для построения графика функции у = ах + b достаточно найти какие-нибудь две его точки, а затем провести через них прямую линию. Поясним это на примере функции у = — 2х + 3.
При х = 0 у = 3, а при х = 1 у = 1. Поэтому две точки: М с координатами (0; 3) и N с координатами (1;1) — лежат на нашей прямой. Отметив эти точки на плоскости координат и соединив их прямой линией (рис. 9), получим график функции у = — 2х + 3.
Вместо точек М и N можно было бы взять, конечно, и другие две точки. Например, в качестве значений х мы могли бы выбрать не 0 и 1, как выше, а — 1 и 2,5. Тогда для умы получили бы соответственно значения 5 и — 2. Вместо точек М и N мы имели бы точки Р с координатами (— 1; 5) и Q с координатами (2,5; — 2). Эти две точки, так же как и точки М и N, полностью определяют искомую прямую у = — 2х + 3.
Упражнения
15. На одном и том же рисунке построить графики функций:
а) у = — 4; б) у = —2; в) у = 0; г) у = 2; д) у = 4.
Пересекаются ли эти графики с осями координат? Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения.
16. На одном и томже рисунке построить графики функций:
а) <span> у </span>= <span>x/</span>4; б) у = <span> x/</span>2; в) у =<span> х</span>; г) у = 2<span>х </span>; д) у = 4х.
17. На одном и том же рисунке построить графики функций:
а) <span> у </span>= — <span>x/</span>4; б) у = — <span> x/</span>2; в) у = — х; г) у = — 2<span>х </span>; д) у = — 4х.
Построить графики данных функций (№ 18—21) и определить координаты точек пересечения этих графиков с осями координат.
18. у = 3+ х. 20. у = — 4 — х.
19. у = 2<span>х </span>— 2. 21. у = 0,5( 1 — 3х).
22. Построить график функции
у = 2x — 4;
используя этот график, выяснить: а) при каких значениях х y = 0;
б) при каких значениях х значения у отрицательны и при каких — положительны;
в) при каких значениях х величины х и у имеют одинаковые знаки;
г) при каких значениях х величины х и у имеют разные знаки.
23. Написать уравнения прямых, представленных на рисунках 10 и 11.
24. Какие из известных вам физических законов описываются с помощью линейных функций?
25. Как построить график функции у = — (ах + b), если задан график функции у = ах + b?
