Question

В прямоугольную трапецию ABCD (АВ перпендикулярна ВС и АD) вписана окружность.Диагонали пересекаются в точке М. Точка М не совпадает с центром вписанной окружности. Площадь треугольника СМD равна S.Найти радиус вписанной окружности.

Answer 1

Свойства трапеции: Треугольники, лежащие на боковых сторонах, при пересечении диагоналей, равновеликие.
Если в трапецию вписана окружность с радиусом R и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка - a и b, то R²=a*b.
Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен  2*a*b/(a+b) (среднее гармоническое), где a и b - основания трапеции (формула Буракова).
Итак, площади треугольников АВМ и СМD равны. R² = CG*GD.
Заметим, что CG=FC и GD=HD как касательные из одной точки.
BF=BE=AE=AH = R.
Тогда CF = CG = BC − R, а GD = HD = AD - R.  R² = CG*GD = (BC − R)*(AD - R). Отсюда R=(AD·BC)/(AD+BC).
Вспомним: "Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен  2*a*b/(a+b) (среднее гармоническое), где a и b - основания трапеции (формула Буракова)".
Из этого свойства видим, что половина отрезка (в нашем случае это  отрезок КМ) будет равна ВС*AD/(BC+AD), то есть КМ = R.
Отсюда Sabm = (1/2)*AB*KM = (1/2)*2*R*R = R², откуда R=√S.
Ответ: R = √S.