Question

При каких натуральных п число n!x(n+1)!x(n+2)! является точным кубом? n!, то есть произведение натуральных чисел от 1 до n
ЧТО ТАКОЕ ТОЧНЫЙ КУБ?!???

Answer 1

Ответ:

Ни при каких

Пошаговое объяснение:

Точный куб - это третья степень натурального числа.

Разложим факториалы на множители, выделим n!

(n+1)! = n!*(n+1); (n+2)! = n!*(n+1)(n+2)

Подставляем в уравнение.

n!*(n+1)!*(n+2)! = a^3

n!*n!*(n+1)*n!*(n+1)(n+2) = a^3

(n!)^3*(n+1)^2*(n+2) = a^3

(n+1)^2*(n+2) = a^3 / (n!)^3 = (a/n!)^3

Мы получили, что произведение (n+1)^2*(n+2) является кубом натурального числа a/n!.

Но числа (n+1) и (n+2) - взаимно простые, то есть не имеют общих делителей. Поэтому они оба должны быть точными кубами, чтобы произведение (n+1)^2*(n+2) было кубом.

Но таких натуральных чисел нет.