Question

На доске записаны числа 1, 2, 4, 8, …, 2^7. Разрешается стереть любые два числа и записать вместо них частное от деления их произведения на их сумму. Это действие проделывается, пока на доске не останется одно число. Какое наибольшее число может получиться? Представьте это число в виде несократимой дроби с положительным знаменателем. В ответ запишите сумму числителя и знаменателя.

Answer 1

Возьмем сначала 2 числа A1 и A2.
1/A1 + 1/A2 = (A1 + A2)/(A1*A2)
Обратное к нему A1*A2/(A1 + A2) - это и есть результат деления произведения чисел на их сумму. Можно обозначить
1/A = 1/A1 + 1/A2
В более общем случае n чисел будет тоже самое:
1/A = 1/A1 + 1/A2 + ... + 1/A(n)
В нашем случае
1/A = 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 =
= (128+64+32+16+8+4+2+1)/128 = 255/128
A = 128/255
Ответ: 128 + 255 = 383