Question

Помогите решить уравнение y'''-2y''=3xcosx

Answer 1

Помогите решить уравнение y'''-2y''=3xcosx
k³-2k²=0 k1=0 k2=0 k3=2

y(о.о)=C1·е^(0x)+C2·x·е^(0x)+C3·е^(2x)
y(ч.н)=(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx

y'=Acosx-(Ax+B)sinx+Csinx+(Cx+D)cosx
y'=(A+Cx+D)cosx-(Ax+B-C)sinx

y''=Ccosx-(A+Cx+D)sinx-Asinx-(Ax+B-C)cosx
y''=(2C-B-Ax)cosx-(2A+Cx+D)sinx

y'''=-Acosx-(2C-B-Ax)sinx-(C)sinx-(2A+Cx+D)cosx
y'''=-(3A+Cx+D)cosx-(3C-B-Ax)sinx

                                  y'''-2y''=3xcosx
-(3A+Cx+D)cosx-(3C-B-Ax)sinx-2{(2C-B-Ax)cosx-(2A+Cx+D)sinx}=3xcosx
  cosx   I   -(3A+Cx+D)-2(2C-B-Ax)=3x      x  I  -C+2A=3
                                                                x^0 I   -3A-D-4C+2B=0
   
     
  sinx    I   -(3C-B-Ax)+2(2A+Cx+D) =0        x  I  A+2C=0
                                                                  x^0 I   -3C+B+4A+2D=0
                                                               
                                                        2A -C=3       4A-2C=6
                                                       A+2C=0          A+2C=0  5A=6  
   A=6/5
 C=2·6/5-3 = -3/5

-3A-D-4C+2B=0      -3·(6/5)-D-4·( -3/5)+2B=0     -D+2B=6/5    -2D+4B=12/5
-3C+B+4A+2D=0    -3·(-3/5)+2D+4·( 6/5)+B=0    2D+B=-33/5   2D+B=-33/5

B=-21/25    D=-42/25-6/5=-72/5

  B=-21/25
  D=-72/5


A=6/5  
B=-21/25
 C= -3/5
  D=-72/5
y(ч.н)=((6/5)x-21/25)cosx+( ( -3/5)x-72/5)sinx
но надо проверить... что y'''-2y''=3xcosx...
и тогда...
Y(o.н)=y(oo)+y(o.н) 

Y(o.н)=(C1+C2·x+C3·е^(2x))+(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx

Y(o.н)=(C1+C2·x+C3·е^(2x))+((6/5)x-21/25)cosx+( ( -3/5)x-72/5)sinx