Question

Решите уравнение:cos2x=1-cos(π/2-x)

Answer 1

Sin 3x + Sin 5x = 2(Cos² 2x - Sin² 3x) 

Для левой части ур-ия применим формулу суммы синусов: 
Sin x + Sin y = 2Sin ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2) 
А для правой части формулы понижения степени: 
Cos² x = (1 + Cos 2x) / 2 
Sin² x = (1 - Cos 2x) / 2 

То есть: 
2Sin 4x · Cos x = 2 · ((1 + Cos 4x)/2 - (1 - Cos 6x)/2)) 

2Sin 4x · Cos x = 1 + Cos 4x - 1 + Cos 6x 

2Sin 4x · Cos x = Cos 4x + Cos 6x 

Для правой части ур-ия применим формулу суммы косинусов: 
Cos x + Cos y = 2Cos ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2) 

2Sin 4x · Cos x = 2Cos 5x * Cos x 

2Sin 4x · Cos x - 2Cos 5x * Cos x = 0 

Выносим общий множитель 2Cos x: 
2Cos x · (Sin 4x - Cos 5x) = 0 

Отсюда: 
Cos x = 0 ⇒ x = ±π/2 + 2πk, k — целое 

Sin 4x - Cos 5x = 0 

Cos (π/2 - 4x) - Cos (5x) = 0 

Применяем формулу разности косинусов: 
Cos x - Cos y = -2Sin ((x + y)/2) · Sin ((x - y)/2) 

То есть: 
-2Sin ((π/2 + x)/2) · Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0 

1) Sin ((π/2 + x)/2) = 0 
(π/2 + x)/2 = πk 
π/2 + x = 2πk 
x = -π/2 + 2πk 

2) Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0 
(π/2 - 9x)/2 = πk 
π/2 - 9x = 2πk 
9x = π/2 - 2πk 
x = π/18 - 2π/(9k) 

Ответ: 
x = ±π/2 + 2πk, k — целое 
x = π/18 - 2π/(9k)