Question

Помогите вычислить площадь фигур, ограниченных линиями.
$1) y=x^{2}; y=\frac{2}{x}; y=16$

$2) p^2=9cos2$φ

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)

Найдём точки пересечения графиков:

$\displaystyle\large {2\over x}=16 \Rightarrow x_1={1\over8}\\\\{2\over x}=x^2\Rightarrow x_2=\sqrt[3]{2}\\\\x^2=16\Rightarrow x_3=4$

Площадь фигуры можно вычислить как сумму 2 площадей, ограниченных графиками($y=16, y={2\over x}$ и $y=16, y=x^2$):

$\displaystyle\large S=\int_{{1\over8}}^{\sqrt[3]{2}}{\left(16-{2\over x}\right)\mathrm{dx}}+\int_{\sqrt[3]{2}}^{4}{\left(16-x^2\right)\mathrm{dx}}=\left(16x-2\ln{x}\right)\bigg|_{{1\over8}}^{\sqrt[3]{2}}+\left(16x-{1\over3}x^3\right)\bigg|_{\sqrt[3]{2}}^{4}=16\sqrt[3]{2}-2-{20\over3}\ln{2}+{130\over3}-16\sqrt[3]{2}={124\over3}-{20\over3}\ln{2}=\ln{\sqrt[3]{e^{124}}\over\sqrt[3]{2^{20}}}\approx36.7$

2)

Судя по уравнению можно сказать, что это лемниската Бернулли.

Для нахождения её площади достаточно вычислить площадь четверти одной четверти и умножить на 4.

$\displaystyle\Large {1\over4}S={1\over2}\int_{0}^{\pi\over4}9\cos{(2\phi)}\;\mathrm{d\phi}={9\over2}\int_{0}^{\pi\over4}\cos{(2\phi)}\;\mathrm{d\phi}={9\over4}\int_{0}^{\pi\over4}\cos{(2\phi)}\;\mathrm{d(2\phi)}={9\over4}\sin{(2\phi)}\bigg|_{0}^{\pi\over4}={9\over4}\sin{2\pi\over4}={9\over4}\\\\S=9$