Question

Две окружности имеют общую точку M и общую касательную в этой точке . Прямая AB касается одной окружности в точке A ,а другой - вточке B. Найдите угол AMB

Answer 1

Сделаем рисунок.   
Соединим центры О₁ и О₂ данных окружностей  между собой и   точками их касания с прямой АВ..  
С- точка пересечения касательной, проходящей через М, и   прямой АВ.  АС=СМ=СВ - как равные отрезки касательных из одной точки.  
СО₁ и СО₂ - биссектрисы углов АСМ и ВСМ (  центры вписанных   окружностей лежат на биссектрисах углов).  
Угол АСВ - развернутый, равен 180º.   
Угол О₁СО₂ =90º ( состоит из половин смежных углов)  
Треугольник АО₁М равнобедренный.  Треугольник АСМ -равнобедренный. 
 По свойству равнобедренных треугольников СО₁ содержит   биссектрису  и высоту этих треугольников. Он пересекает АМ в точке  Н. ⇒  
 Угол СНМ прямой.  
На том же основании угол СКМ во второй окружности -прямой ( К  - точка пересечения МВ и СО₂)  
В четырехугольнике КСНМ три угла прямые. следовательно, и   
угол АМВ-90º.