Question

F(x) = x^4 – 2x² - 8 . Решить по этому плану .

Answer 1

$f(x)=x^4-2x^2-8$

1. Область определения - все действительные числа: $x\in R$

2. Исследование функции на четность:
$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-8=x^4-2x^2-8=f(x)$ - функция четная

3. Точки пересечения с осями координат:
$x^4 - 2x^2 - 8=0 \\\ D_1=(-1)^2-1\cdot(-8)=1+8=9 \\\ x^2=1+3=4; \ x=\pm2 \\\ x^2 \neq 1-3=-2\ \textless \ 0$
Точки пересечения с осью х: (2; 0); (-2; 0)
$f(0)=0^4-2\cdot0^2-8=-8$
Точка пересечения с осью y: (0; -8)

4. Исследование функции на монотонность и экстремумы:
$f'(x)=4x^3-4x \\\ f'(x)=0: \\\ 4x^3-4x=0 \\\ 4x(x^2-1)=0 \\\ 4x(x-1)(x+1)=0$
Точка минимума $x_{\min}=-1$; минимум $y_{\min}=(-1)^4-2\cdot(-1)^2-8=1-2-8=-9$
Точка максимума $x_{\max}=0$; максимум: $y_{\max}=-8$
Точка минимума $x_{\min}=1$; минимум $y_{\min}=1^4-2\cdot1^2-8=1-2-8=-9$
При $x\in(-\infty;-1]\cup[0;1]$ функция убывает
При $x\in [-1;0]\cup[1;+\infty)$ функция возрастает

5. Исследование функции на выпуклость/вогнутость:
$f''(x)=12x^2-4 \\\ f''(x)=0: \\\ 12x^2-4=0 \\\ 3x^2-1=0 \\\ x^2= \frac{1}{3} \\\ x=\pm \frac{ \sqrt{3} }{3}$
Точки перегиба: $x=- \frac{ \sqrt{3} }{3}$ и $x= \frac{ \sqrt{3} }{3}$
Ординаты этих точек: $y=( \frac{1}{3} )^2-2\cdot \frac{1}{3} -8= \frac{1}{9} - \frac{2}{3} -8= \frac{1}{9} - \frac{6}{9} -8=- \frac{5}{9} -8=-8 \frac{5}{9}$
При $x\in(-\infty; -\frac{ \sqrt{3} }{3}]\cup[\frac{ \sqrt{3} }{3};+\infty)$ функция выпукла
При $x\in [- \frac{ \sqrt{3} }{3}; \frac{ \sqrt{3} }{3}]$ функция вогнута

6. Построение графика:
Имеющиеся точки: (2; 0); (-2; 0); (0; -8); (-1; -9); (1; -9); $(- \frac{ \sqrt{3} }{3}; -8 \frac{5}{9})$; $( \frac{ \sqrt{3} }{3}; -8 \frac{5}{9})$
Просчитаем еще две точки:
$f(- \frac{3}{2} )=f( \frac{3}{2} )=( \frac{3}{2} )^4-2\cdot ( \frac{3}{2} )^2-8= \frac{81}{16} -2\cdot \frac{9}{4} -8= \\\ = \frac{81}{16} - \frac{18}{4} -8=\frac{81}{16} - \frac{72}{16} - \frac{128}{16} = - \frac{119}{16} =-7 \frac{7}{16}$
Достаточно построить график в правой полуплоскости и отобразить его в левую, так как функция четная