Question

Решите, пожалуйста, уравнения.

Answer 1

$6^x+6^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2} \\\ 6^x+6\cdot 6^x=2^x+2\cdot2^x+2^2\cdot 2^x \\\ (1+6)\cdot 6^x=(1+2+2^2)\cdot 2^x \\\ 7\cdot 6^x=7\cdot 2^x \\\ 6^x=2^x$
$\dfrac{6^x}{2^x} = \dfrac{2^x}{2^x} \\\\ 3^x= 1 \\\ 3^x=3^0 \\\ \Rightarrow x=0$

$3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=12^x+12^{x+1} \\\ 3^x+3\cdot3^x+3^2\cdot3^x=12^x+12\cdot 12^x \\\ (1+3+3^2)\cdot3^x=(1+12)\cdot 12^x \\\ 13\cdot3^x=13\cdot 12^x \\ 3^x=12^x \\\ \dfrac{3^x}{12^x} = \dfrac{12^x}{12^x} \\\ \left( \dfrac{1}{4} \right)^x=1 \\\ \left( \dfrac{1}{4} \right)^x=\left( \dfrac{1}{4} \right)^0 \\\ \Rightarrow x =0$

$4\cdot3^{2x}-2^{2x-1}-3^{2x+1}-2^{2x}=0 \\\ 4\cdot3^{2x}-3^{2x+1}=2^{2x-1}+2^{2x} \\\ 4\cdot3^{2x}-3\cdot 3^{2x}= \dfrac{1}{2}\cdot 2^{2x}+2^{2x} \\\ 3^{2x}= \dfrac{3}{2}\cdot 2^{2x} \\\ \dfrac{3^{2x}}{2^{2x}} = \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{2^{2x}}{2^{2x}} \\\ \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x}=\dfrac{3}{2} \\\ \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x}=\left(\dfrac{3}{2} \right)^1 \\\ 2x=1 \\\ \Rightarrow x= \dfrac{1}{2}$

$5\cdot7^{2x-1}+4\cdot3^{2x}+3^{2x+1}-2\cdot7^{2x}=0 \\\ 5\cdot7^{2x-1}-2\cdot7^{2x}=-4\cdot3^{2x}-3^{2x+1} \\\ 5\cdot \dfrac{1}{7}\cdot7^{2x}-2\cdot7^{2x}=-4\cdot3^{2x}-3\cdot 3^{2x}$
$- \dfrac{9}{7}\cdot7^{2x}=-7\cdot3^{2x} \\\ \dfrac{9}{7}\cdot7^{2x}=7\cdot3^{2x} \\\ \dfrac{7^{2x}}{3^{2x}} =7\cdot \dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{3^{2x}}{3^{2x}} \\\ \left(\dfrac{7}{3} \right)^{2x}=\dfrac{49}{9} \\\ \left(\dfrac{7}{3} \right)^{2x}=\left(\dfrac{7}{3} \right)^2 \\\ 2x=2 \\\ \Rightarrow x=1$