Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение 2sin^2x=1-(2-cosx)^2

Answer 1

2sin²x =1-(2-cosx)² ;
2(1-cos²x) =1- 4+4cosx - cos²x ;
cos²x+4cosx - 5=0 ⇔(cosx+2)² - 3²=0⇔(cosx - 1)(cosx+5)=0 ⇒
а) cosx+5 =0 ⇔ cosx = - 5 не имеет решения
б) cosx - 1=0 ⇔cosx = 1 ⇒ x =2πn ,n∈ℤ.

ответ : x =2πn ,n∈ℤ.

Answer 2

$2\sin^2 x=1-(2-\cos x)^2\\ 2\sin^2 x=1-4+4\cos x-\cos ^2x\\ \\ \sin^2 x-4\cos x+\sin^2 x+\cos^2x +3=0\\ \\ \sin^2x-4\cos x+4=0\\ 1-\cos^2x-4\cos x+4=0\\ \\ \cos^2x +4\cos x-5=0$

Введём замену. Пусть $\cos x=t$, при условии что $|t| \leq 1$, получаем

$t^2+4t-5=0$

Согласно т. Виета: 
$t_1=-5$ - не удовлетворяет условию

$t_2=1$

Возвращаемся к обратной замене

$\cos x=1\\ \\ \boxed{x=2 \pi n,n \in \mathbb{Z}}$