Question

Помогите решить, хотя бы один номер. Подробно

Answer 1

$1)\; \; (1+e^{2x})y^2\, dy=e^{2x}\, dx\\\\\int y^2\, dy=\int \frac{e^{2x}\, dx}{1+e^{2x}}\\\\\frac{y^3}{3}=\frac{1}{2}\int \frac{2e^{2x}\, dx}{1+e^{2x}}\; ;\; \; \; \; [\; t=1+e^{2x},dt=2e^{2x}dx,\; \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C]\\\\\frac{y^3}{3}=\frac{1}{2}\cdot ln|1+e^{2x}|+C$

$2)\; \; (x^2+1)dy=xy\, dx\; ;\; y(\sqrt3)=2\\\\\int \frac{dy}{y}=\int \frac{x\, dx}{x^2+1}\; ;\; \; [t=x^2+1,\; dt=2x\, dx,\; \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C]\\\\ln|y|=\frac{1}{2}ln|x^2+1|+lnC\\\\y=C\cdot \sqrt{x^2+1}\\\\y(\sqrt3)=2\; ,\; \; 2=C\sqrt{3+1}\; ,\; 2=2C\; ,\; \; C=1\\\\y_{chastnoe\; reshenie}=\sqrt{x^2+1}}$