Question

Две стороны остроугольного треугольника равны соответственно 13 см и 20 см. Радиусописанного около треугольника круга 65/6 см. Найдите третью сторону треугольника.

Answer 1

По теореме синусов $\frac{a}{sina}=2R$ , найдем любой из углов 
$\frac{20}{sina}=2R\\ sina=\frac{20}{2R}=\frac{20}{\frac{65}{3}}=\frac{60}{65}=\frac{12}{13}$ это острый угол, второй угол 
$\frac{13}{sinb}=2R\\ sinb=\frac{13}{\frac{65}{3}}\\ sinb=\frac{39}{65}=\frac{3}{5}$ это тоже  острый угол. Обозначим за $x$ третью сторону , и согласно теореме косинусов получаем $20^2=13^2+x^2-26*x*cosa\\ sina=\frac{12}{13}\\ cosa=\sqrt{1-(\frac{12}{13})^2}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}\\ 400=169+x^2-26x*\frac{5}{13}\\ 400=169+x^2-10x\\ x^2-10x-231=0\\ (x-21)(x+11)=0\\ x=21$ Ответ 21